Como factorizar los polinomios del tercer grado

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Factorar polinomios ayuda a los matemáticos a determinar los ceros o soluciones de una función. Estos ceros indican cambios críticos en las tasas de aumento y de disminución, simplificando el proceso de análisis.Para polinomios del tercer grado o superior, es decir, el mayor exponente de la variable es tres o un valor mayor, la factorización puede tornarse más tediosa. En algunos casos, los métodos de agrupación reducen la aritmética, pero en otros casos, es posible que necesite saber más sobre la función o polinomio, antes de que pueda continuar con el análisis.

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Factorar algunos polinomios es tedioso (formulas image by Anton Gvozdikov de Fotolia.com)

1. Analice el polinomio para considerar el factorizar por agrupamiento. Si el polinomio está en la forma en que la remoción del máximo divisor común (mdc) de los dos primeros términos y los dos últimos términos revela otro factor común, usted puede emplear el método de agrupamiento. Por ejemplo, F (x) = x³ - x² - 4x + 4. Cuando se quita el mdc de los dos primeros y últimos términos, obtiene lo siguiente: x² (x - 1) - 4 (x - 1). Ahora puede retirar (x - 1) de cada parte para obtener, (x² - 4) (x - 1). Usando el método de "diferencia de cuadrados", puede ir adelante: (x - 2) (x + 2) (x - 1). Una vez que cada factor está en su forma prima o no factorizable, ha terminado.

   
   

2. Busque una diferencia o suma de cubos. Si el polinomio tiene sólo dos términos, cada uno con un cubo perfecto, usted puede factorizarlos sobre la base de fórmulas cúbicas conocidas. Para sumas: (x³ + y³) = (x + y) (x² - xy + y²). Para diferencias: (x³ - y³) = (x - y) (x² + xy + y²). Por ejemplo, G (x) = 8x³ - 125. Entonces factorizando ese polinomio de 3º grado depende de una diferencia de cubos, como sigue: (2x - 5) (4x² + 10x + 25), donde 2x es la raíz cúbica de 8x³ y 5 es la raíz cúbica de 125. Pues 4x² + 10x + 25 es primo, usted terminó la factorización

3. Ver si hay un mdc que contiene una variable que puede reducir el grado del polinomio. Por ejemplo, si H (x) = x³ - 4x, factorizando el mdc de "x", se obtendría x (x² - 4). A continuación, utilizando la técnica de diferencia de cuadrados, puede dividir el polinomio en x (x - 2) (x + 2).

   
   

4. Utilice soluciones conocidas para reducir el grado del polinomio. Por ejemplo, P (x) = x³ - 4x² - 7x + 10. Si no hay ningún mdc o diferencia / suma de cubos, debe utilizar otra información para factorizar el polinomio. Cuando descubre que P (c) = 0, usted sabe que (x - c) es un factor de P (x) basado en el "teorema del factor" de álgebra. Así, encuentre un "c". En este caso, P (5) = 0, entonces (x - 5) debe ser un factor. Usando la división sintética o larga, usted obtiene un cociente de (x² + x - 2), que se encarga en (x - 1) (x + 2). Por lo tanto, P (x) = (x - 5) (x - 1) (x + 2).