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Un triángulo escaleno con los ángulos en 30, 60 y 90 grados es, por definición, un triángulo, porque uno de los ángulos tiene 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Tales triángulos son muy comunes en las instrucciones de trigonometría, entonces es interesante saber tanto las longitudes de los lados de ese tipo de triángulo como cómo se puede derivar.
instrucciones
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Oriente el triángulo escaleno para que el lado de tamaño medio quede horizontal por debajo y el lado más pequeño quede a la derecha. Entonces el ángulo de 30 grados estará a la izquierda y el de 60 en la parte superior. Encuentre la longitud de la hipotenusa con la letra H.
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Determine la longitud del lado más corto dividiendo H por 2. Determine la longitud del lado de abajo multiplicando H por √3 / 2. Alternativamente, encuentre la longitud del lado inferior multiplicando el lado más corto por √3, que puede ser más fácil de recordar que el número √3 / 2.
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Determine H si uno de los otros lados se encuentra al multiplicar el lado más corto por 2 o al multiplicar el lado de longitud medio por 2 / √3. Por supuesto, si usted ya sabe dos lados, es posible usar el teorema de Pitágoras para encontrar el tercero, por tratarse de un triángulo recto.
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Derive de donde los números anteriores vinieron como sigue: coloque dos triángulos de 30-60-90 grados del mismo tamaño lado a lado, con la longitud mediana tocando en el centro y los lados más cortos formando una línea recta hasta la parte inferior. Note que estos dos triángulos ahora forman triángulo con todos los ángulos igual a 60 grados. El triángulo es ahora equilátero. Como todos los ángulos son igual, las longitudes también lo son. Por lo tanto, los tres lados son de longitud H. Perciba específicamente que el lado inferior es de longitud H. Debido al lado inferior se compone de dos lados más cortos, el lado más corto de un triángulo de ángulos 30-60-90 es M / 2. Por el teorema de Pitágoras, el lado mediano debe tener longitud de H√3 / 2.
consejos
- Los lados de un triángulo escaleno con longitud de hipotenusa en 1 frecuentemente aparecen en los ejercicios de trigonometría. Si coloca el triángulo dentro de un círculo para que el lado más corto se apoye en el eje x positivo y la hipotenusa de longitud 1 se extienda desde el origen al círculo, el punto de intersección en el círculo tiene una coordenada-x de 1/2 yy de √3 / 2. Estos son el seno y el coseno de 30 grados. Si el triángulo se dobla de tal forma que la longitud media en el eje x positivo, en cambio, el punto de intersección en el círculo tiene una coordenada x de √3 / 2 y y del 1/2. Se dice entonces que el coseno de 60 grados es 1/2 y el seno de 60 grados es √3 / 2. Por un razonamiento similar, el seno y el coseno de 45 grados son ambos √2 / 2 = 1 / √2 porque un triángulo de ángulos 45-45-90 con la hipotenusa tiene los lados en la longitud de 1 / √2. Se percibe que a medida que va de 30 a 45 a 60 grados, el coseno disminuye de √3 / 2 a √2 / 2 a √1 / 2 (= 1/2) y el seno aumenta de √1 / 2 a √2 / 2 para √3 / 2. Este patrón genera un mnemónico interesante para los números discutidos en los pasos uno, dos y tres.
advertencia
- No confunda el triángulo discutido para arriba con un triángulo recto de lados 3-4-5, que tiene una razón simple de los lados de uno para el otro, pero no tiene los mismos ángulos como el triángulo de 30-60 a 90 grados.