Contenido
Si tuvieras que hacer un cuadrado y dibujar dos líneas diagonales, se cruzarían en el centro y formarían cuatro triángulos rectángulos; las dos líneas se cruzan en un ángulo de 90 grados. Es posible descubrir intuitivamente que estas dos diagonales en un cubo, cada una corriendo de una esquina a la otra y cruzando en el centro, también pueden cruzarse en ángulos rectos; Pero eso sería un error. Determinar el ángulo en el que se cruzan las dos diagonales es un poco más complicado de lo que parece a primera vista, pero es una buena práctica comprender los principios de geometría y trigonometría.
Paso 1
Defina la longitud de un borde como una unidad. Por definición, cada borde del cubo tiene una longitud igual a la humedad.
Paso 2
Utilice el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la diagonal que va de una esquina a la otra en el mismo lado, que se puede llamar "diagonal menor", en aras de la claridad. Cada lado del triángulo rectángulo formado es una unidad, por lo que la diagonal debe ser igual a √2.
Paso 3
Usa el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de una diagonal que va de una esquina a la otra, en el otro lado del cubo, que se puede llamar "diagonal mayor". Tendrá un triángulo rectángulo en un lado equivalente a una unidad y un lado igual a la "diagonal más pequeña", que es equivalente a la raíz cuadrada de dos unidades. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los lados, por lo que la hipotenusa debe ser √3. Cada diagonal que va de una esquina a la otra en el otro lado del cubo es igual a √3 unidades.
Paso 4
Dibuja un rectángulo para representar dos diagonales más grandes en el centro del cubo y considera que se debe encontrar el ángulo de su intersección. Este rectángulo debe tener 1 unidad de alto y √2 unidades de ancho. Las diagonales más grandes se cruzan en el centro de este rectángulo y forman dos tipos diferentes de triángulos. Uno de ellos tendrá un lado igual a 1 unidad y los otros dos iguales √3 / 2 (la mitad de la longitud de una diagonal mayor). El otro tendrá dos lados iguales a √3 / 2, pero el primero será √2. Solo necesitas analizar uno de los triángulos, elegir el primero y descubrir el ángulo desconocido.
Paso 5
Usa la fórmula trigonométrica "c² = a² + b² - 2ab x cos C" para encontrar el ángulo desconocido de este triángulo. "C = 1", y "b" y "a" son iguales a √3 / 2. Al poner estos valores en la ecuación, encontramos que el coseno del ángulo es 1/3. La inversa del coseno 1/3 corresponde a un ángulo de 70,5 grados.